Schmidt-Samoa 密码系统，像 Rabin 加密一样，其安全性基于整数因式分解的难度。但 Rabin 解密时会得到四个解，而 Schmidt-Samoa 得到的是唯一解。

加密过程

密钥生成

1. 选取两个大的质数 p 和 q 并进行计算 $N = p^2*q$
2. 计算 $d=invert(N,\varphi(pq))$
3. 公钥取数对$(N, d)$

加密

对消息 $m$ ，计算密文 $C=m^N \pmod N$

解密

计算明文 $m = C^d\pmod{pq}$

正确性证明就不写了。摸了摸了

关于 pq 的获取问题

我们有$N=p^2q,d\cdot N\equiv1\pmod{(p-1)(q-1)}$，有欧拉定理：

$$a^{(p-1)(q-1)}\equiv1\pmod{pq}$$

所以：

$$a^{(p-1)(q-1)}\cdot a\equiv1\pmod{pq}$$

$$a\equiv a^{(p-1)(q-1)}\pmod{pq}$$

由此，我们有：

$$k\cdot pq=a^{Nd}-a$$

$$pq=gcd(a^{Nd}-a,N)$$

我们只要随便取个$a$就行能拿到$pq$了。

例题

from Crypto.Util.number import *
flag = b'NSSCTF{******}'

p = getPrime(512)
q = getPrime(512)
n = p*p*q
e = n

c = pow(bytes_to_long(flag), e, n)
d = inverse(e, (p-1)*(q-1))

$$x^{nd}\equiv x^{nd-1}\cdot x\equiv x\pmod{pq}$$

显然有 $pq\mid{(x^{nd}-x)}$ 。然后题目有$n=p^2q$ ，GCD 一下就有$pq$了。

exp:

from Crypto.Util.number import *

n =
d =
c =

pq = GCD(n, pow(2, n*d, n)-2)
m = pow(c, d, pq)
print(long_to_bytes(m))

贡献者

Cuber-Wei

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